Question

【題目】在利用構造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點D是BC邊上的中點，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以延長AD到點E，使AD＝DE，然后連接BE（如圖①），這樣，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下來，在△ABE中通過AE的長可求出AD的取值范圍．

請你回答：

（1）在圖①中，中線AD的取值范圍是　 　．

（2）應用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在△ABC中，點D是BC邊上的中點，點E是AB邊上的一點，作DF⊥DE交AC邊于點F，連接EF，若BE＝4，CF＝2，請直接寫出EF的取值范圍．

②如圖③，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，點E是AB中點，點F在DC上，且滿足BC＝CF，DF＝AD，連接CE、ED，請判斷CE與ED的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）1＜AD＜7；（2）①2＜EF＜6；②CE⊥ED，理由見解析

【解析】

（1）在△ABE中，根據三角形的三邊關系定理即可得出結果；

（2）①延長ED到點N，使，連接CN、FN，由SAS證得，得出，由等腰三角形的性質得出，在△CFN中，根據三角形的三邊關系定理即可得出結果；

②延長CE與DA的延長線交于點G，易證DG∥BC，得出，由ASA證得，得出，即可證得，由，根據等腰三角形的性質可得出．

（1）在△ABE中，由三角形的三邊關系定理得：

，即

，即

故答案為：；

（2）①如圖②，延長ED到點N，使，連接CN、FN

∵點D是BC邊上的中點

在△NDC和△EDB中，

是等腰三角形，

在△CFN中，由三角形的三邊關系定理得：

，即

；

②；理由如下：

如圖③，延長CE與DA的延長線交于點G

∵點E是AB中點

在△GAE和△CBE中，

，即

．（等腰三角形的三線合一）