Question

如圖，拋物線y=-ax²+ax+6a交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B，交y軸正半軸于點D，O為坐標原點，拋物線上一點C的橫坐標為1．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，得出的方程的根就是A、B的橫坐標．
（2）根據拋物線的解析式可知：D（0，6a），C（1，6a），因此CD∥x軸，只需證AD=BC即可，過C作CE⊥AB，可通過證△AOD和△BEC全等來得出結論．
（3）如果∠CAB=∠ADO，則有△AOD∽△CEA，可通過相似三角形得出的對應成比例線段來求出a的值．

解答：（1）解：令y=0，則有0=-ax²+ax+6a，
解得x=-2，x=3．
∵A在x軸負半軸，B在x軸正半軸
∴A（-2，0），B（3，0）．

（2）證明：過C作CE⊥AB于E；
易知D（0，6a），C（1，6a）．
因此CD∥AB
∵AO=BE=2，OD=CE=6a，∠AOD=∠CEB=90°
∴△AOD≌△BEC
∴AD=BC
∴四邊形ABCD是等腰梯形．

（3）解：∵∠CAB=∠ADO，∠AOD=∠AEC=90°
∴△DAO∽△AEC
∴

DO

AE

=

AO

EC

，
∵DO=EC=6a
∴36a²=AE•AO=3•2
∴a=±

6

6

∵D點在y軸正半軸，
∴6a＞0，即a＞0
∴a=

6

6

．

點評：本題中主要考查了二次函數的性質、等腰梯形的判定、全等三角形和相似三角形的判定和性質等知識點．