Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點P從原點O出發,沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動t(t>0)秒,拋物線經過點O和點P.已知矩形ABCD的三個頂點為A(1,0),B(1,4),D(4,0).

（1）求c,b(可用含t的代數式表示)；

（2）當t>1時，拋物線與線段交于點M，交x軸于點E.在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化?若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值；

（3）點P為x正半軸上的動點，線段PM與線段BC有公共點時，求點P的橫坐標t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) b=t；(2) 不變，∠EMP=45°；（3）當線段PM與線段BC有公共點時，點P的橫坐標t 的取值范圍為5≦t≦8.

【解析】

（1）由拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b；
（2）當x=-1時，y=-1-t，求得M的坐標，則可求得∠AMP的度數；
（3）設直線PM的解析式為把P(t，0），點M（-1，-1-t）代入求解，再根據線段PM與線段BC有公共點求出范圍．

(1)把x=0,y=0代入，得c=0，

再把x=t,y=0代入,得，

∵t>0，

∴b=t；

(2)不變。

∵拋物線的解析式為：，且M的橫坐標為1，

∴當x=-1時，y=-1t，

∴M(-1,-1t)，

∴EM=t+1，EP=t+1

∴EM=EP，

∵∠PEM=90°，

∴∠EMP=45°；

（3）設直線PM的解析式為（m≠0）

∵直線PM經過點P(t，0），點M（-1，-1-t）

M=1，n=-t

∴直線PM的解析式為

當PM過點B（1，-4）時，得1-t=-4，解得t=5

當PM過點C,(4,-4)時，得4-t=-4，解得t=8

∴當線段PM與線段BC有公共點時，點P的橫坐標t 的取值范圍為5≦t≦8.