Question

【題目】如圖，AD是△ABC的高，點G、H在BC邊上，點E在AB邊上，點F在AC邊上，BC=10cm，AD=8cm，四邊形EFHG是矩形．

（1）△AEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

（2）若矩形EFHG的面積為15cm2，求這個矩形的長和寬．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），2或6，．

【解析】

（1）根據EF∥BC，可得∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，進而可證明相似；（2）設矩形EFHG的長為xcm，根據題意可得矩形EFHG的寬為cm，利用相似三角形的性質求出x的值即可.

（1）相似，理由如下：

∵四邊形EFHG是矩形，

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴△AEF∽△ABC；

（2）如圖，記EF與AD的交點為K，

設矩形EFHG的長為xcm，

∵四邊形EFHG是面積為15cm2的矩形，

∴矩形EFHG的寬為：cm，

∴EF=GH=xcm，EG=FH=cm，

∵AD是△ABC的高，四邊形EFHG是矩形，

∴EF∥BC，KD=EG=cm，

∴AD⊥EF，AK=AD-KD=（8-）cm，

∵△AEF∽△ABC，

∴AK∶AD＝EF∶BC，

∴（8-）∶8＝x∶10，

∴4x2-40x+75=0，

∴（2x-15）（2x-5）=0，

解得：或，

當時，=2；

當時，=6．

∴這個矩形的長和寬為：，2或6，．