Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC于點D，連接AD.

(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形；

(2)若BC＝10，求AB＋AE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) AB＋AE＝10.

【解析】

(1)如圖，根據△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE為等腰三角形；由角平分線的性質可知AE=DE，由此得到△AED為等腰三角形；同理可得△ABD為等腰三角形；
(2)由于△AED為等腰三角形，△ABD為等腰三角形，利用等腰三角形的性質即可證明AB+AE=BD+CD=BC，然后就可以求出AB+AE的長．

(1)如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°.

又∵ED⊥BC，

∴∠EDC＝90°，

∴∠7＝∠C＝45°，

∴DE＝DC，

故△DCE為等腰直角三角形．

∵BE是△ABC的角平分線，∠BAC＝∠BDE＝90°，

∴AE＝DE，

∴△ADE為等腰三角形．

∵BE是△ABC的角平分線，

∴∠1＝∠2.

又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，

∴△ABE≌△DBE，

∴AB＝DB，

∴△ABD為等腰三角形．

故圖中所有的等腰三角形為△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共4個．

(2)由(1)可知△ADE為等腰三角形，△ABD為等腰三角形，△DCE為等腰三角形，故AB＝DB，AE＝DE＝DC，∴AB＋AE＝DB＋DC＝BC＝10.