Question

學習了勾股定理的逆定理，我們知道：在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形．類似地，我們定義：對于任意的三角形，設其三個內角的度數分別為x°、y°和z°，若滿足，則稱這個三角形為勾股三角形．
（1）根據“勾股三角形”的定義，請你直接判斷命題：“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題？
（2）已知某一勾股三角形的三個內角的度數從小到大依次為x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=，AC=1+，BC=2，⊙O的直徑BE交AC于點D．
①求證：△ABC是勾股三角形；
②求DE的長．

Answer 1

(1) 假命題；(2)102; (3) ①證明見解析；.

試題分析：(1）直接根據“勾股三角形”的定義，判斷得出即可；
（2）利用已知：（得出等量量關系組成方程組，進而求出x+y的值；
（3）①過B作BH⊥AC于H，設AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，進而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出答案；
②過D作DK⊥AB于K，設KD=h，首先得出h+h=，進而得出h的值，求出BD，進而得出DE的長．
試題解析：（1）假命題；
（2）由題意可得：，
解得：x+y=102；
（3）①證明：過B作BH⊥AC于H，設AH=x，
Rt△ABH中，BH=，
Rt△CBH中，（）²+（1+﹣x）²=4，
解得：x=，
所以，AH=BH=，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC=，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴45²+60²=75²
∴△ABC是勾股三角形；
②連接CE，
∵∠A=45°，
∴∠BEC=∠BAC=45°，
又∵BE是直徑，
∴∠BCE=90°，
∴BC=CE=2，
過D作DK⊥AB于K，設KD=h，
∵∠EBC=45°，∠ABC=75°，
∴∠ABE=30°，
∴，AK=h，
∴h+h=，
解得：h=，
∴BD=2KD=2h=，
∴DE=BE﹣BD=

考點:1.圓的綜合題；2.勾股定理．