Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過點C的切線與AB的延長線相交于點D，AE⊥DC交DC于點E．
（1）求證：AC是∠EAB的平分線；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分線．

（2）∵CD是⊙O的切線，
∴DC²=DB•DA，即4²=2•DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴

OC

AE

=

DO

DA

．
即

3

AE

=

5

8

．
解得AE=

24

5

．
∵DC是⊙O的切線，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴

CB

AC

=

DC

DA

=

4

8

=

1

2

．
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC²+BC²=AB²，即（2BC）²+（BC）²=6²
解得BC=

6 5

5

．