Question

【題目】如圖所示，AB是半圓O的直徑，AC是弦，點P沿BA方向，從點B運動到點A，速度為1cm/s，若AB=10cm，點O到AC的距離為4cm．

（1）求弦AC的長；

（2）問經過多長時間后，△APC是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或s時，△APC是等腰三角形；

【解析】

（1）過O作OD⊥AC于D，根據勾股定理求得AD的長，再利用垂徑定理即可求得AC的長；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三種情況求t值即可.

（1）如圖1，過O作OD⊥AC于D，

易知AO=5，OD=4，

從而AD==3，

∴AC=2AD=6；

（2）設經過t秒△APC是等腰三角形，則AP=10﹣t

①如圖2，若AC=PC，過點C作CH⊥AB于H，

∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，

∴△AHC∽△ADO，

∴AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，

解得t=s，

∴經過s后△APC是等腰三角形；

②如圖3，若AP=AC，

由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，

又∵AC=6，

則10﹣t=6，解得t=4s，

∴經過4s后△APC是等腰三角形；

③如圖4，若AP=CP，P與O重合，

則AP=BP=5，

∴經過5s后△APC是等腰三角形．

綜上可知當t=4或5或s時，△APC是等腰三角形．