Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0）．與y軸交于點C（0，5）．有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N．交x軸于點E和F．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF= ，求點Q的坐標；
（3）在矩形的平移過程中，當以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與x軸交于點A（﹣5，0），B（3，0），

∴可以假設拋物線為y=a（x+5）（x﹣3），把點（0，5）代入得到a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+5．

（2）

解：）作FG⊥AC于G，設點F坐標（m，0），

則AF=m+5，AE=EM=m+6，FG= （m+5），FM= = ，

∵sin∠AMF= ，

∴ = ，

∴ = ，整理得到2m2+19m+44=0，

∴（m+4）（2m+11）=0，

∴m=﹣4或﹣5.5（舍棄），

∴點Q坐標（﹣4， ）

（3）

解：

①當MN是對角線時，設點F（m，0）．

∵直線AC解析式為y=x+5，

∴點N（m，m+5），點M（m+1，m+6），

∵QN=PM，

∴﹣ m2﹣ m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣ （m+1）2﹣ （m+1）+5]，

解得m=﹣3± ，

∴點M坐標（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣ ，3﹣ ）．

②當MN為邊時，MN=PQ= ，設點Q（m，﹣ m2﹣ m+5）則點P（m+1，﹣ m2﹣ m+6），

∴﹣ m2﹣ m+6=﹣ （m+1）2﹣ （m+1）+5，

解得m=﹣3．

∴點M坐標（﹣2，3），

綜上所述以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣ ，3﹣ ）．

【解析】（1）設拋物線為y=a（x+5）（x﹣3），把點（0，5）代入即可解決問題．（2）作FG⊥AC于G，設點F坐標（m，0），根據sin∠AMF= = ，列出方程即可解決問題．（3）①當MN是對角線時，設點F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解決問題．②當MN為邊時，MN=PQ= ，設點Q（m，﹣ m2﹣ m+5）則點P（m+1，﹣ m2﹣ m+6），代入拋物線解析式，解方程即可．本題考查二次函數綜合題、三角函數、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會待定系數法確定函數解析式，學會分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．