Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方．下列結論：①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＞0．其中正確結論的個數是______個．

Answer 1

①根據題意畫大致圖象如圖所示，
由y=ax²+bx+c與X軸的交點坐標為（-2，0）得：
a×（-2）²+b×（-2 ）+c=0，即4a-2b+c=0，
所以正確；
②由圖象開口向下知a＜0，
由y=ax²+bx+c與X軸的另一個交點坐標為（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
則該拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=

(-2)+x1

2

＞-

1

2

，即

b

a

＜1，
由a＜0，兩邊都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，對稱軸x=-

b

2a

＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．故正確；
③由一元二次方程根與系數的關系知x1．x2=

c

a

＜-2，結合a＜0得2a+c＞0，所以結論正確，
④由4a-2b+c=0得2a-b=-

c

2

，而0＜c＜2，∴-1＜-

c

2

＜0∴-1＜2a-b＜0∴2a-b+1＞0，所以結論正確．
故填正確結論的個數是4個．