Question

【題目】閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一式子的平方，如,然后小明以進行了以下探索：

設（其中a，b，m，n均為整數），則有,所以，，這樣小明找到了一種類似的式子化為平方式的方法。

請仿照小明的方法探索解決下列問題：

（1）當a，b，m，n均為整數時，若,則a=_____,b=_______;

（2）請找一組正整數，填空：________+_________=（____+______）；

（3）若，且a，m，n均為正整數，求a的值。

Answer 1

【答案】（1），；（2）9,4,2, （答案不唯一）；（3）9或21.

【解析】

（1）利用完全平方公式展開，然后根據有理數的性質可用m、n表示a、b；
（2）利用（1）中結論，設m=3，n=2，然后計算出對應的a、b的值；
（3）利用（1）中結論a=m2+5n2；2mn=4，再根據整除性確定m、n的值，然后計算出對應a的值．

解：（1）∵ = +2 + , ∴a=，b=.

（2）令m=2，n=1，則a=22+5×12=9，b=2×2×1=4，

∴9+4=（2 + ）2；

故答案為：9,4,2,（答案不唯一）；

（3）由題意，得

∵，且m，n為正整數

∴m=2，n=1或m=1，n=2

∴或.