Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點F，連結OC，過點B作BD∥OC交⊙O點D．連接AD交OC于點E

（1）求證：BD＝AE．

（2）若OE＝1，求DF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF＝

【解析】

（1）由余角的性質可證∠BAD＝∠ACE，然后根據“AAS”證明△ADB≌△CEA，即可解決問題．

（2）由三角形的中位線可求BD的長，根據全等三角形的性質和垂徑定理可求出AE、DE的長，根據勾股定理求出AB的長，根據平行線分線段成比例求出DK，進而求出BK，然后通過證明△AKB∽△FKD，利用相似三角形的性質求解即可解決問題．

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵BD∥OC，

∴∠AEO＝∠ADB＝90°，

∵∠OAC＝90°，

∴∠OAE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠ACO＝90°，

∴∠BAD＝∠ACE，

∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD．

（2）∵OE∥BD，AO＝OB，

∴AE＝ED，

∴BD＝2OE＝2，

∴AE＝BD＝DE＝2，

∴AB＝＝2，

∵△ADB≌△CEA，

∴EC＝AD＝4，

設AD交BC于K．

∵EC∥BD，

∴＝＝2，

∴DK＝，

∴BK＝＝，

∵∠ABK＝∠FDK，∠AKB＝∠FKD，

∴△AKB∽△FKD，

∴＝，

∴＝，

∴DF＝．