Question

16．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+2mx-m²+1的對稱軸是直線x=1．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點D（n，y₁），E（3，y₂）在拋物線上，若y₁＜y₂，請直接寫出n的取值范圍；
（3）設點M（p，q）為拋物線上的一個動點，當-1＜p＜2時，點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱軸方程可求得m=1，從而可求得拋物線的表達式；
（2）將x=3代入拋物線的解析式，可求得y₂=3，將y=3代入拋物線的解析式可求得x₁=-1，x₂=3，由拋物線的開口向下，可知當當n＜-1或n＞3時，y₁＜y₂；
（3）先根據題意畫出點M關于y軸對稱點M′的軌跡，然后根據點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方，列出關于k的不等式組即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2m}{-1×2}$=1．
解得：m=1．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x．
（2）將x=3代入拋物線的解析式得y=-3²+2×3=-3．
將y=-3代入得：-x²+2x=-3．
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵a=-1＜0，
∴當n＜-1或n＞3時，y₁＜y₂．
（3）設點M關于y軸對稱點為M′，則點M′運動的軌跡如圖所示：

∵當P=-1時，q=-（-1）²+2×（-1）=-3．
∴點M關于y軸的對稱點M₁′的坐標為（1，-3）．
∵當P=2時，q=-2²+2×2=0，
∴點M關于y軸的對稱點M₂′的坐標為（-2，0）．
①當k＜0時，
∵點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方，
∴-2k-4≤0．
解得：k≥-2．
②當k＞0時，
∵點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方，
∴k-4≤-3．
解得；k≤1．
∴k的取值范圍是-2≤k≤1．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題需要同學們熟練掌握二次函數的圖象和性質，利用數形結合思想列出關于k的不等式組是解題的關鍵．