Question

【題目】如圖，AB∥CD，定點E，F分別在直線AB，CD上，平行線AB，CD之間有一動點P．

（1）如圖1，當P點在EF的左側時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數量關系為　 　，如圖2，當P點在EF的右側時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數量關系為　 　．

（2）如圖3，當∠EPF＝90°，FP平分∠EFC時，求證：EP平分∠AEF；

（3）如圖4，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點P在EF左側．

①若∠EPF＝60°，則∠EQF＝　 　．

②猜想∠EPF與∠EQF的數量關系，并說明理由；

Answer 1

【答案】（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）見解析；（3）①150°，∠EQF=180°－∠EPF

【解析】

（1）如下圖，過點P作AB的平行線，根據平行線的性質可推導出角度關系；

（2）如下圖，根據（1）的結論，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF內角和為180°可推導得出∠PEF+∠PFE=90°，從而得出∠PEF=∠AEP；

（3）①根據（1）的結論知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分線的性質得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四邊形EPFQ中得出結論；

②根據（1）的結論知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分線的性質得出∠PEQ+∠PFQ=180°－，最后在四邊形EPFQ中得出結論．

（1）如下圖，過點P作PQ∥AB

∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD

∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC

又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF

∴∠EPF=∠AEP+∠PFC

如下圖，過點P作PQ∥AB

同理，AB∥QP∥CD

∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°

∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°

（2）根據（1）的結論知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°

∵PF是∠CFE的角平分線，∴∠PFC=∠PFE

在△PEF中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°

∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC

∴∠PEF=∠AEP，∴PE是∠AEF的角平分線

（3）①根據（1）的結論知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°

∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°

∵EQ、QF分別是∠PEB和∠PFD的角平分線

∴∠PEQ=QEB，∠PFQ=∠QFD

∴∠PEQ+∠PFQ=150°

在四邊形PEQF中，∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150°

②根據（1）的結論知：∠AEP+∠PFC=∠EPF

∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF

∵EQ、QF分別是∠PEB和∠PFD的角平分線

∴∠PEQ=∠QEB，∠PFQ=∠QFD

∴∠PEQ+∠PFQ==180°－

∴在四邊形PEQF中：

∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－－(180°－)=180°－