Question

【題目】如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，連接CD、OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CEAB．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①∵AB是半圓直徑， ∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②過點(diǎn)E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯(cuò)誤．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴③錯(cuò)誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD= ×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴ ，
∴CD2=OCCE= ABCE，
∴2CD2=CEAB．
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
所以答案是：①④．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的內(nèi)角和外角和等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．