Question

如圖在直角坐標系中，二次函數y=x²-4x+k的頂點是C，與x軸相交于A，B兩點（A在B的左邊）．
（1）若點B的橫坐標x_B滿足5＜x_B＜6，求k的取值范圍；
（2）若tan∠ACB=

4

3

，求k的值；
（3）當k=0時，點D，E同時從點B出發，分別向左、向右在拋物線上移動，點D，E在x軸上的正投影分別為M，N，設BM=m（m＜OB），BN=n，當m，n滿足怎樣的等量關系時，△ODE的內心在x軸上？

Answer 1

分析：（1）令y=0，把k看作常數，解關于x的一元二次方程，得到點B的橫坐標，再列出不等式組，然后求解即可；
（2）過點A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，根據∠ACB的正切值設AG=4a，CG=3a，利用勾股定理列式求出AC=5a，根據二次函數的對稱性可得BC=AC=5a，求出BG=2a，再利用勾股定理列式表示出AB=2

5

a，然后表示出BH=

5

a，再利用勾股定理列式表示出CH=2

5

a，然后根據二次函數的性質表示出AB、CH并列出方程求解即可得到k的值；
（3）先求出點B的坐標，再表示出OM、ON，并根據二次函數解析式表示出DM、EN，根據△ODE的內心在x軸上可知∠DOM=∠EON，然后求出△DOM和△EON相似，根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則x²-4x+k=0，
解得x=

4± 16-4k

2×1

=2±

4-k

，
∵A在B的左邊，
∴點B的橫坐標x_B為2+

4-k

，
∵5＜x_B＜6，
∴

2+ 4-k ＞5① 2+ 4-k ＜6②

，
解不等式①得，k＜-5，
解不等式②得，k＞-12，
所以，k的取值范圍是-12＜k＜-5；

（2）如圖，過點A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，
∵tan∠ACB=

4

3

，
∴設AG=4a，CG=3a，
根據勾股定理，AC=

AG2+CG2

=

(4a)2+(3a)2

=5a，
∵C為二次函數的頂點，
∴BC=AC=5a，
∴BG=BC-CG=5a-3a=2a，
在Rt△ABG中，AB=

AG2+BG2

=

(4a)2+(2a)2

=2

5

a，
∵C為二次函數的頂點，
∴BH=

1

2

AB=

1

2

×2

5

a=

5

a，
在Rt△BCH中，CH=

BC2-BH2

=

(5a)2-( 5 a)2

=2

5

a，
∴AB=CH，
∵AB=（2+

4-k

）-（2-

4-k

）=2

4-k

，
CH=

4×1×k-16

4×1

=k-4，
∴2

4-k

=k-4，
兩邊平方得，16-4k=k²-8k+16，
整理得，k²-4k=0，
解得k₁=0，k₂=4；

（3）k=0時，y=x²-4x，
令y=0，則x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∵A在B的左邊，
∴點B的坐標為（4，0），
∴OM=4-m，ON=4+n，
∵點D、E都在二次函數y=x²-4x的圖象上，
∴DM=-（4-m）²+4（4-m），
EN=（4+n）²-4（4+n），
∵△ODE的內心在x軸上，
∴∠DOM=∠EON，
又∵∠DMO=∠ENO=90°，
∴△DOM∽△EON，
∴

DM

EN

=

OM

ON

，
即

-(4-m)2+4(4-m)

(4+n)2-4(4+n)

=

4-m

4+n

，
整理得：m=n．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線與x軸的交點問題，解一元一次不等式組，二次函數的對稱性，銳角三角函數的正切值，勾股定理的應用，三角形的內心是角平分線的交點，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，（2）列出根據頂點C的縱坐標和AB的長度列出方程是解題的關鍵，（3）根據△ODE的內心在x軸上得到∠DOM=∠EON是解題的關鍵．