Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF是過點C的⊙O的切線，AD⊥EF于點D．
（1）求證：∠BAC=∠CAD；
（2）若∠B=30°，AB=12，求

AC

的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由EF為圓O的切線，根據切線性質得到OC與EF垂直，又AD與EF垂直，得到AD與OC平行，根據兩直線平行得到內錯角∠OCA=∠CAD，由OA=OC，根據“等邊對等角”得到∠OCA=∠OAC，等量代換得證；
（2）由OA=OB，根據“等邊對等角”得到∠B=∠OCB=30°，又∠AOC為△BOC的外角，根據三角形外角性質求出∠AOC的度數，即為弧AC所對的圓心角的度數，然后由直徑AB的長，求出半徑的長，利用弧長公式即可求出

AC

的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵EF是過點C的⊙O的切線．
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠BAC=∠CAD；

（2）解：∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，
又∵∠AOC是△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=60°，
∵AB=12，
∴半徑OA=

1

2

AB=6，
∴

AC

的長l=

60π•6

180

=2π．

點評：此題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，以及弧長公式．遇到直線與圓相切，連接圓心與切點，是常常連接的輔助線，然后構造直角三角形來解決問題．要求學生掌握切線的性質，三角形的外角性質以及弧長公式l=

nπr

180

（n為弧所對的圓心角度數，r表示圓的半徑）．