Question

23、如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M．
（1）求證：MB=MD，ME=MF；
（2）當E、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．

Answer 1

分析：通過證明兩個直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂線的性質得出四邊形BEDF是平行四邊形．再根據平行四邊形的性質得出結論．

解答：解：（1）連接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）連接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∴MB=MD，ME=MF．

點評：本題綜合考查了直角三角形全等的判定和性質，垂線的性質，平行四邊形的判定和性質，但難度不大．