Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D為AB的中點，EF為△ACD的中位線，四邊形EFGH為△ACD的內接矩形（矩形的四個頂點均在△ACD的邊上）．

（1）計算矩形EFGH的面積；
（2）將矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上時停止移動．在平移過程中，當矩形與△CBD重疊部分的面積為 時，求矩形平移的距離；
（3）如圖③，將（2）中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形E1F1G1H1 ， 將矩形E1F1G1H1繞G1點按順時針方向旋轉，當H1落在CD上時停止轉動，旋轉后的矩形記為矩形E2F2G1H2 ， 設旋轉角為α，求cosα的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖① ，在△ABC中，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，

∴AB=2，

又∵D是AB的中點，

∴AD=1， ，

又∵EF是△ACD的中位線，

∴ ，

在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，

∴∠ADC=60°，

在△FGD中，GF=DFsin60°= ，

∴矩形EFGH的面積

（2）

解：如圖② ，設矩形移動的距離為x，則 ，

當矩形與△CBD重疊部分為三角形時，

則 ， ，

∴ ．（舍去），

當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時，則 ，

重疊部分的面積S= ，

∴ ，

即矩形移動的距離為 時，矩形與△CBD重疊部分的面積是

（3）

解：如圖③， 作H2Q⊥AB于Q，

設DQ=m，則 ，又 ， ．

在Rt△H2QG1中， ，

解之得 （負的舍去）．

∴

【解析】（1）根據已知，由直角三角形的性質可知AB=2，從而求得AD，CD，利用中位線的性質可得EF，DF，利用三角函數可得GF，由矩形的面積公式可得結果；（2）首先利用分類討論的思想，分析當矩形與△CBD重疊部分為三角形時（ ），利用三角函數和三角形的面積公式可得結果；當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時（ ），列出方程解得x；（3）作H2Q⊥AB于Q，設DQ=m，則 ，又 ， ，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函數解得cosα．本題主要考查了直角三角形的性質，中位線的性質和三角函數定義等，利用分類討論的思想，構建直角三角形是解答此題的關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的“三線”的相關知識，掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內．