Question

3．已知兩條直線l₁、l₂分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)B（3，0）并且當(dāng)兩條直線同時(shí)相交于y軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l₁交于點(diǎn)K，與直線l₂交于點(diǎn)E，在x軸交于點(diǎn)F，D是拋物線的頂點(diǎn)，如圖所示．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸被直線l₁、拋物線、直線l₂和x軸依次截得三條線段，問(wèn)：這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)直線l₂繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請(qǐng)找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡(jiǎn)述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用△BOC∽△COA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得OC的長(zhǎng)，則C的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得l₁，l₂和拋物線的對(duì)稱軸的解析式，進(jìn)而求得K、D、E、F分坐標(biāo)，則DK、DE、和EF的關(guān)系即可求得；
（3）分成K、C、M分別是等腰三角形的頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）由題意可得AO=1，BO=3，
∵△BOC∽△COA，
∴$\frac{CO}{BO}$=$\frac{AO}{CO}$，即$\frac{CO}{3}$=$\frac{1}{CO}$，
∴CO=$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$（舍去）．
∴C的坐標(biāo)是（0，-$\sqrt{3}$）．
設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
（2）所得的三條線段的數(shù)量關(guān)系是KD=DE=EF．
理由是：設(shè)直線l₁的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則直線l₁的解析式是y=-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$．
同理l₂的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．
拋物線的對(duì)稱軸是x=1，
則K的坐標(biāo)是（1，-2$\sqrt{3}$），D的坐標(biāo)是（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），E的坐標(biāo)是（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），F(xiàn)的坐標(biāo)是（1，0）．
則KD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
則KD=DE=EF；
（3）由題意需進(jìn)行分類討論．
①以K為圓心，KC的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn)M₁，此時(shí)KM₁=KC，則M₁與C關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱．
設(shè)M₁的橫坐標(biāo)是a，則$\frac{1}{2}$a=1，解得：a=2．
則M₁的坐標(biāo)是（2，-$\sqrt{3}$）；
②當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段KC的長(zhǎng)為半徑畫圓弧時(shí)，與拋物線的交點(diǎn)M₁和A，而A、C、K三點(diǎn)在一條直線上，不能構(gòu)成三角形；
③作線段KC的中垂線，
∵CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=DK．
∴KC的中垂線一定經(jīng)過(guò)D．
即此時(shí)D就是所求的點(diǎn)M₂．此時(shí)有點(diǎn)M₂，即點(diǎn)M₂的坐標(biāo)是（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）使得△M₂CK是等腰三角形．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，-$\sqrt{3}$），（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）時(shí)，△MCK是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)等腰三角形進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．