Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，點E，F分別為AB，AD的中點，連結CE，CF.

(1)求證：CE＝CF；

(2)如圖2，若H為AB上一點，連結CH，使∠CHB＝2∠ECB，求證：CH＝AH＋AB.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，易證得△BCE≌△DCF（SAS），則可得CE=CF；

（2）由平行線的性質，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的對應角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易證得∠G=∠HCG，則可得CH=GH，則可證出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，

∵點E、F分別為AB、AD的中點，

∴BE=AB，DF=AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF；

（2）證明：延長BA與CF，交于點G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，

∴∠G=∠FCD，

∵點F分別為AD的中點，且AG∥CD，

∴AG=AB，

∵△BCE≌△DCF，

∴∠ECB=∠DCF，

∵∠CHB=2∠ECB，

∴∠CHB=2∠G，

∵∠CHB=∠G+∠HCG，

∴∠G=∠HCG，

∴GH=CH，

∴CH=AH+AG=AH+AB．