Question

反比例函數y=

k

x

的圖象上有一點P（m，n），其坐標是關于t的一元二次方程t²-3t+k=0的兩個根，且點P到原點的距離為

5

，則該反比例函數解析式為

 

．

Answer 1

分析：根據點P（m，n）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，將P坐標代入反比例解析式得到mn=k，由P（m，n）的坐標是關于t的一元二次方程t²-3t+k=0的兩根，根據根與系數關系得到m+n=3，又P點到原點的距離為

5

，利用勾股定理可得m²+n²=5，將所得三個式子組成方程組，即可求出k的值，從而確定出反比例的解析式．

解答：解：將P（m，n）代入反比例函數y=

k

x

得，mn=k；
∵P（m，n）的坐標是關于t的一元二次方程t²-3t+k=0的兩根，
∴m+n=3，
∵P點到原點的距離為

5

，根據勾股定理可得m²+n²=5，
于是由題意得：

mn=k① m+n=3② m2+n2=5③

，
將②兩邊平方得：m²+n²+2mn=9④，
將①③代入④得：2k+5=9，
解得：k=2．
則反比例函數解析式為y=

2

x

．
故答案為：y=

2

x

點評：此題將反比例函數圖象上點的坐標特征、勾股定理及一元二次方程根與系數的關系相結合，考查了同學們的綜合應用能力．本題對方程②的合理變形，有一定難度．