Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，點A的坐標為(﹣1，0)，點B的坐標為(3，0)．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求△ABC的面積；

（3）若P是第四象限內拋物線上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M．求線段PM的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）6；（3）

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，然后解方程組求出b、c的值即可；

（2）根據拋物線解析式求得點C的坐標，易得線段OC，AB的長度，所以由三角形面積公式解答即可；

（3）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．

（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，

，

解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4．

∵拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴OC＝3．

∴S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6，即△ABC的面積是6；

（3）設BC的解析式為y＝kx+t，

將B，C的坐標代入函數解析式，得

，

解得 ,

∴BC的解析式為y＝x﹣3，

設M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），

∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，

當n＝時，PM最大＝．