Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，tanD＝2，點E是射線CD上一動點(不與點C重合)，將△BCE沿著BE進行翻折，點C的對應點記為點F．

(1)如圖1，當點F落在梯形ABCD的中位線MN上時，求CE的長.

(2)如圖2，當點E在線段CD上時，設CE＝x，，求y與x之間的函數關系式，并寫出定義域.

(3)如圖3，聯結AC，線段BF與射線CA交于點G，當△CBG是等腰三角形時，求CE的長．

Answer 1

【答案】(1)；(2)(0＜x≤10)；(3)CE的長為或 或．

【解析】

(1)把BE與MN的交點記為點O，根據折疊的性質以及梯形中位線定理，可判定△EFO是等邊三角形，即可得出∠FEB＝60°，即∠CEB＝60°，進一步在Rt△ECB中，利用60°角的三角函數即可求出EC的長；

(2)把BE與CF的交點記為點P，根據BE是CF的垂直平分線，可得，易證△ECP∽△CBP，然后利用相似三角形的性質即可得出y與x之間的函數關系式；

(3)當△CBG是等腰三角形時，分三種情況進行討論：①GB＝GC；②CB＝CG；③BC＝BG，分別根據折疊的性質以及直角三角形的邊角關系，求得CE的長．

解：(1)把BE與MN的交點記為點O，如圖1，

∵梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠C＝90°，

由翻折得∠CEB＝∠FEB，∠EFB＝∠C＝90°，

∵MN是梯形ABCD的中位線，∴MN∥AB∥CD，

∴∠CEB＝∠FOE，，

∴∠FEB＝∠FOE，∴FE＝FO，

∵∠EFB＝90°，EO＝BO，∴FO＝EO，

∴FE＝FO＝EO，∴△EFO是等邊三角形，

∴∠FEB＝60°，∴∠CEB＝60°，

∴在Rt△ECB中，；

(2)把BE與CF的交點記為點P，如圖2，

由翻折得，BE是CF的垂直平分線，

即∠EPC＝∠BPC＝90°，，

∴S△EFC＝2S△EPC，S△BFC＝2S△BPC，

∴，

∵∠ECP+∠BCP＝90°，∠CBP+∠BCP＝90°，∴∠ECP＝∠CBP，

又∵∠EPC＝∠BPC＝90°，∴△ECP∽△CBP，

∴

∴(0＜x≤10)；

(3)當△CBG是等腰三角形時，存在三種情況：

①當GB＝GC時，延長BF交CD于點H，如圖3，

∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC＝10，

∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB，

∵∠HCB＝90°，∴∠CHB+∠GBC＝90°，

∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠GCB＝90°，

∴∠CHB＝∠CAB，∴，

∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∠ABG+∠GBC＝90°，

∴∠CAB＝∠GBA，∴GA＝GB，∴GA＝GC，

∵AB∥CD，∴，∴CH＝AB＝6，

∵CE＝x，∴EF＝x，HE＝6﹣x，

∵∠HFE＝90°，∴，

解得，即；

②當CB＝CG＝8時，AG＝10﹣8＝2，

∵AB∥CD，∴，∴CH＝4AB＝24，

∵CE＝x，∴EF＝x，HE＝24﹣x，

∵∠HFE＝∠HCB＝90°，∴，

解得，即；

③當BC＝BG時，F點與G點重合，如備用圖，

由翻折可得，BE垂直平分線段GC，

∵∠CBE+∠BCA＝90°＝∠CAB+∠BCA，∴∠CBE＝∠CAB，

∴，

∴，解得，

綜上所述，CE的長為或或．