Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y＝﹣x+b與x軸交于點A，與y軸交于點C．經過點A，C的拋物線y＝ax2+3ax﹣3與x軸的另一個交點為點B．

（1）如圖1，求a的值；

（2）如圖2，點D，E分別在線段AC，AB上，且BE＝2AD，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉得到線段DF，且旋轉角∠EDF＝∠OAC，連接CF，求tan∠ACF的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當∠DFC＝135°時，在線段AC的延長線上取點M，過點M作MN∥DE交拋物線于點N，連接DN，EM，若MN＝DF，求點N的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）a＝；（2）；（3）．

【解析】

（1）求出點A（﹣4，0），將點A的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）證明△ADE≌△GFD，即可求解；

（3）證明△DET≌△MSN（AAS），則MS＝DT＝，NS＝ET＝ ，設點M（x，﹣x﹣3），則點N（x﹣， ），將點N的坐標代入二次函數表達式，即可求解．

解：（1）y＝ax2+3ax﹣3，當x＝0，y＝﹣3，故點C（0，﹣3），

將點C的坐標代入直線表達式并解得：b＝﹣3，

則直線AC的表達式為：y＝﹣x﹣3，則點A（﹣4，0），

將點A的坐標代入二次函數表達式并解得：a＝；

（2）在直線AC上取點G使DG＝AE，連接FG，過點F作FH⊥AC，

∵∠FDC+∠FDE＝∠BAC+∠AED，而∠BAC＝∠EDF，

∴∠FDH＝∠AED，

而DG＝AE，DF＝DE，

∴△ADE≌△GFD，

∴AD＝GF，

∵AB＝AC＝5，BE＝2AD，

∴AD＝GF＝CG，

∵tan∠BAC＝ ，設FH＝3m，則HG＝4m，FG＝5m＝GC，

tan∠ACF＝ ；

（3）如圖3，過點D作DR⊥FC交FC的延長線于點R，過點F作FH⊥CD交于點H，

由（2）知tan∠ACF＝ ，

在Rt△CDR中，設DR＝t，則CR＝3t，CD＝10t，

∵∠DFC＝135°，則△DFR是等腰直角三角形，則FR＝DR＝t，

CF＝CR﹣CF＝2t，

在Rt△FHC中，tan∠ACF＝，

則FH＝2t，CH＝6t，DH＝CD﹣CH＝10t﹣6t＝4t，

則tan∠FDH＝ ＝tan∠AED，

在Rt△ADT中，tan∠BAC＝ ，

設：DT＝3n，則AT＝4n，AD＝5n，

在Rt△DTE中，tan∠AED＝，

則ET＝2DT＝6n，BE＝2AD＝10n，

∵AT+TE+BE＝AB，即4n+6n+10n＝5，

解得：n＝，

則ET＝，DT＝；

∵MN＝EF＝DE，且MN∥DE，

∴四邊形MNDE為平行四邊形，∴∠DEM＝∠DNM，

過點N作x軸的平行線交直線AC于點K，過點M作MS⊥NK于點S，

則∠AEM＝∠KND，∴∠TED＝∠MNS，

而MN＝DE，∠ETD＝∠MSN＝90°，

∴△DET≌△MSN（AAS），

∴MS＝DT＝，NS＝ET＝，

設點M（x，﹣x﹣3），則點N（x﹣， ），

將點N的坐標代入二次函數表達式得：

解得： （舍去負值），

故點N的橫坐標為： ．