Question

閱讀下列材料，并解答后面的問題：
∵

1

1×3

=

1

2

（1-

1

3

），

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

），…，

1

17×19

=（-

1

19

）
∴

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

17×19

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

(

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

17

-

1

19

）
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

19

)=

9

19

．
（1）在式子

1

1×3

+

1

3×5

+…中，第五項(xiàng)為

 

，第n項(xiàng)為

 

．
（2）計(jì)算：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+…+

1

(x+99)(x+100)

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)式子的特點(diǎn)可知：第n個(gè)式子中分子是兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相乘，第n個(gè)式子，第一個(gè)奇數(shù)是從1開始第n個(gè)奇數(shù)，據(jù)此即可寫出兩個(gè)式子；
（2）把每個(gè)項(xiàng)分成兩個(gè)分式相減，即可化簡(jiǎn)求解．

解答：解：（1）第五項(xiàng)是

1

9×11

，第n項(xiàng)是：

1

(2n-1)(2n+1)

；
（2）原式=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+…+

1

x+99

-

1

x+100

=

1

x

-

1

x+100

=

100

x(x+100)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的加減，關(guān)鍵是正確理解已知中的提示，可以把一個(gè)分式分解成兩個(gè)分式的和或差．