Question

【題目】如圖，OA和OB是⊙O的半徑，OB＝2，OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的⊙O的切線交OA延長線于點R．

（1）求證：RP＝RQ；

（2）若OP＝PQ，求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接OQ，由QR為圓O的切線，得到∠OQR為90°，即∠OQB+∠PQR=90°，由OA與OB垂直，根據垂直的定義得到∠BOA=90°，所以∠B+∠BPO=90°，再根據對頂角相等及等角的余角相等，得到∠RPQ=∠RQP，根據“等角對等邊”得證；

（2）根據OP=PQ，由“等邊對等角”得到∠POQ=∠PQO，又根據半徑OB=OQ，再根據“等邊對等角”得到∠B=∠BQO，在三角形OBQ中，由∠BOA為直角，設出∠B=∠PQO=∠POQ=x，根據三角形的內角和定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為∠B的度數，又∠RPQ=∠BPO=60°，PR=QR，所以三角形PRQ為等邊三角形，所以PQ=QR，在直角三角形OQR中，根據30°的正切函數定義，由OQ=OB=2，即可求出QR的值，從而得到PQ的長．

（1）連接OQ．∵QR是切線，∴∠OQR=90°，∴∠BQO+∠PQR=90°．

∵OA⊥OB，∴∠BOA=90°，∴∠B+∠BPO=90°，又∠BPO=∠RPQ，∴∠B+∠RPQ=90°．

由OB=OQ得：∠B=∠BQO，∴∠RPQ=∠RQP，∴PR=QR；

（2）∵OP=PQ，∴∠POQ=∠PQO，

又OB=OQ，∴∠B=∠PQO，

設∠B=∠PQO=∠POQ=x，又∠BOP=90°，

根據三角形內角和定理得：

∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°，即x+90°+x+x=180°，

解得：x=30°，即∠B=30°，∴∠RPQ=∠BPO=60°，又PR=QR，∴△PQR為等邊三角形，即PQ=QR=PR，

在直角三角形OQR中，OQ=OB=2，

根據銳角三角函數定義得：

．