Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，動(dòng)點(diǎn)分別以相同的速度從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止)，連接與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由正方形的性質(zhì)及條件可證明△ABE≌△BCF，即可得∠BAE＝∠CBF，再根據(jù)∠BAE＋∠BEA＝90°，可得∠CBF＋∠BEA＝90°，可得出∠APB＝90°，進(jìn)而得到點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，最后在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理，求出CG的長(zhǎng)度，再求出PG的長(zhǎng)度，即可求出線段CP的最小值，即可得到線段的最小值．

解：∵動(dòng)點(diǎn)F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

又∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CBF＋∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，

在Rt△BCG中，CG＝，

∵PG＝AB＝，

∴CP＝CGPG＝，

易得四邊形NCMP是矩形，

∴MN＝CP，

∴線段MN的最小值為

故答案為：．