Question

【題目】如圖（1），，，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，它們運動的時間為

（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，判斷線段與滿足的關系，并說明理由；

（2）如圖（2），將圖（1）中的“，”為改“”，其它條件不變．設點的運動速度為，是否存在實數，使得與全等？若存在，求出相應的、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PC=PQ且PC⊥PQ，證明見解析；（2）存在，①x=2，t=1，②x=3，t=2，詳情見解析；

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，可得PC=PQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出PC⊥PQ；

（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可；

證明：（1）PC=PQ且PC⊥PQ；理由如下：

∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠A=∠B=90°，

當時，AP=BQ=2，

∴BP=AB-AP=8-2=6，

∴BP=AC=6，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ，

∴PC=PQ，

∴∠C=∠QPB，

∵∠APC+∠C=90°，

∴∠APC+∠QPB=90°，

即PC=PQ且PC⊥PQ；

（2）存在x的值，使得△ACP與△BPQ全等，

①若△ACP≌△BPQ，

則AC=BP，AP=BQ，

可得：6=8-2t，2t=xt，

解得：x=2，t=1；

②若△ACP≌△BQP，

則AC=BQ，AP=BP，

可得：6=xt，2t=8-2t，

解得：x=3，t=2.