Question

已知拋物線的函數關系式：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（其中x是自變量），
（1）若點P（2，3）在此拋物線上，
①求a的值；
②若a＞0，且一次函數y=kx+b的圖象與此拋物線沒有交點，請你寫出一個符合條件的一次函數關系式（只需寫一個，不要寫過程）；
（2）設此拋物線與軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0）．若x₁＜＜x₂，且拋物線的頂點在直線x=的右側，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①將P點坐標代入拋物線的解析式中即可求出a的值．
②可根據①得出的a的值求出拋物線的解析式，然后根據拋物線的解析式即可寫出符合條件的一次函數關系式．
（2）本題可從兩方面考慮：
①根據x₁＜＜x₂，以及拋物線的開口向上可得出當x=時，函數值必小于0，由此可得出一個a的取值范圍．
②由于拋物線的頂點在直線x=的右側，也就是說拋物線的對稱軸在x=的右側，由此可得出另一個a的取值范圍．結合兩種情況即可求出a的取值范圍．
解答：解：（1）①將P（2，3）代入y=x²+2（a-1）x+a²-2a
得a²+2a-3=0，（a+3）（a-1）=0
∴a=-3或a=1
②∵a＞0，
∴由（1）知a=1，原函數化簡為y=x²-1，
故與此拋物線無交點的直線可以是y=x-2．

（2）∵頂點在x=右側，即對稱軸x=-=1-a在的右側，
∴1-a＞
∴a＜
由于x₁＜＜x₂；
∴拋物線在自變量取時，
∵變量必小于0．
∴3+2（a-1）+a²-2a＜0；
解得-＜a＜2-
∵x=-（a-1）＞，即a＜；
∴-＜a＜．
點評：本題主要考查了二次函數的相關知識．