Question

已知拋物線y=-

1

2

x2+bx+4上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線y=-

1

2

x2+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數關系式；
（3）當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F？

Answer 1

分析：（1）求拋物線的解析式關鍵是求出b的值，根據E、F的坐標可發現，E、F關于拋物線的對稱軸對稱，由此可求出拋物線的對稱軸方程，進而可求出b的值及拋物線的解析式；
（2）根據拋物線的解析式可求出A、B的坐標，可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°，可證△BCM∽△AMD，根據相似三角形得到的比例線段求出m、n的函數關系式；
（3）將點F的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出F點的坐標，進而可由待定系數法求出直線MF的解析式，然后根據直線MF與坐標軸的交點坐標求出m、n的值．（需注意的是此題要分MP、MQ過F的兩種不同情況分類討論）

解答：解：（1）拋物線y=-

1

2

x2+bx+4的對稱軸為x=-

b

2×(- 1 2 )

=b；（1分）
∵拋物線上不同兩個點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標相同，
∴點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，則b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2；
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4；（2分）


（2）拋物線y=-

1

2

x2+x+4與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

；（3分）
在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴

BC

AM

=

BM

AD

，即

n

2 2

=

2 2

m

，n=

8

m

；
故n和m之間的函數關系式為n=

8

m

（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴將F代入函數解析式得：-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化簡得，k²-4k+3=0，∴k₁=1，k₂=3；
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）；（6分）
①MF過M（2，2）和F₁（-2，0），設MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -2k+b=0

，解得

k= 1 2 b=1

；
∴直線MF的解析式為y=

1

2

x+1；
直線MF與x軸交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1）；
若MP過點F（-2，0），則n₁=4-1=3，m₁=

8

3

；
若MQ過點F（-2，0），則m₂=4-（-2）=6，n₂=

4

3

；（7分）
②MF過M（2，2）和F₂（-4，-8），設MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -4k+b=-8

，解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直線MF的解析式為y=

5

3

x-

4

3

；
直線MF與x軸交點為（

4

5

，0），與y軸交點為（0，-

4

3

）；
若MP過點F（-4，-8），則n₃=4-（-

4

3

）=

16

3

，m₃=

3

2

；
若MQ過點F（-4，-8），則m₄=4-

4

5

=

16

5

，n₄=

5

2

；（8分）
故當

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

或

m4= 16 5 n4= 5 2

時，∠PMQ的邊過點F．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、函數圖象與坐標軸交點坐標的求法等知識，需注意的是（3）題中，MP、MQ都有可能經過F點，要分類討論，以免漏解．