Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax²-2ax+b與x軸的一個交點為A（-1，0），另一個交點B在A點的右側；交y軸于（0，-3）．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設拋物線的頂點為C，拋物線上一點D的坐標為（-3，12），在x軸上是否存在一點P，使以點P、B、C為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知的拋物線上兩點的坐標代入拋物線中進行求解即可．
（2）本題要分類進行討論：
①當△ABD∽△PBC時，可得出關于PB、AB、BC、BD的比例關系式，可設出P點的橫坐標，然后表示出PB的長，而BC，BD的長可根據B、C、D三點的坐標求得，因此根據此比例關系式即可求出P點的坐標．
②當△ABD∽△CBP時，同①
③當△ABD∽△BCP時，此時∠ABD=∠BCP，AB∥PC，顯然是不成立的．

解答：解：
（1）將A（-1，0）、（0，-3）代入y=ax²-2ax+b中，
得到：a=1，b=-3
∴所求二次函數的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）易求：C（1，-4）B（3，0）
BC：y=2x-6
BD：y=-2x+6關于x軸對稱
從而∠DBA=∠CBA
①若：△ABD∽△PBC則：

PB

AB

=

BC

BD

設P（k，0），則PB=3-K而BC=

2

5

，BD=

6

5

，AB=4
從而K=

5

3

，此時P（

5

3

，0）．
②若：△ABD∽△CBP則：

PB

DB

=

BC

AB

，易知：k=-12
此時P（-12，0）．
③若：△ABD∽△BCP則：∠BCP=∠ABD=∠ABC
從而：AB∥CP而P點在x軸上，故這種情況不成立．
綜上所述：符合條件的P點坐標是P（

5

3

，0）或P（-12，0）．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點．
（2）在不確定相似三角形的對應角和對應邊的情況下要分類討論，不要漏解．