Question

【題目】如圖,將ABCD沿過點A的直線l折疊,使點D落到AB邊上的點D'處,直線l交CD邊于點E,連接BE.

（1）求證:四邊形BCED'是平行四邊形;
（2）若BE平分∠ABC,求證:AB2=AE2+BE2.

Answer 1

【答案】
（1）證明:由折疊的性質可得∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,DA=D'A.
∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD',
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA.
∴DE=DA=AD'.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥DC,AB=DC
∴CE∥D'B,CE=D'B,
∴四邊形BCED'是平行四邊形
（2）證明:∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°.
∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2
【解析】（1）根據折疊的性質得出∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,DA=D'A.，再根據平行四邊形的性質及平行線的性質證明DE=AD'，就可證明四邊形ABCD是平行四邊形,再證明CE∥D'B,CE=D'B,，就可證明四邊形BCED'是平行四邊形。
（2）根據角平分線的定義及平行線的性質證明△ABE是直角三角形，再利用勾股定理即可證得結論。