Question

【題目】如圖，Rt△ABO的直角邊OB在x軸上，OB＝2，AB＝1，將Rt△ABO繞點O順時針旋轉90°得到Rt△CDO，拋物線y＝﹣+bx+c經過A，C兩點．

（1）求點A，C的坐標；

（2）求二次函數的解析式；

（3）連接AC，點P是拋物線上一點，直線OP把△AOC的周長分成相等的兩部分，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣2，1)，C(1，2)；（2）y＝--x+；（3）(4，﹣12)或(﹣1，3)

【解析】

（1）根據線段OB、AB的長度易得點A的坐標，根據旋轉的性質求得C點的坐標；

（2）根據待定系數法即可求得；

（3）由直線OP把△AOC的周長分成相等的兩部分且OA＝OC，知AQ＝CQ，即點Q為AC的中點，從而得出點Q坐標，求得直線OP解析式，聯立方程可得點P坐標．

解：（1）∵OB＝2，AB＝1，

∴A（﹣2，1），

將Rt△ABO繞點O順時針旋轉90°得到Rt△CDO，

∴C（1，2），

（2）∵拋物線y＝﹣+bx+c經過A，C兩點，

∴，解得

∴二次函數的解析式為y＝﹣﹣x+；

（3）設OP與AC交于點Q，

∵OP將△AOC的周長分成相等的兩部分，又OA＝OC，OQ＝OQ，

∴AQ＝CQ，即Q為AC的中點，

∴Q（﹣，）．

設直線OP的解析式為y＝kx，把Q（﹣，）代入y＝kx，得＝﹣k，

∴k＝﹣3．

∴直線OP的解析式為y＝﹣3x．

由，得，，

∴P1（4，﹣12），P2（﹣1，3）．