Question

【題目】如圖，正方形ABCD邊長為8，M，N分別是邊BC，CD上的兩個動點，且AM⊥MN，則AN的最小值是（　　）

A.8B.4C.10D.8

Answer 1

【答案】C

【解析】

通過正方形的性質可以證明Rt△ABM∽Rt△MCN，設BM＝x，可得CN＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，根據二次函數的性質，可得CN的最大值，再根據勾股定理即可求出AN的長度．

解：在正方形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，

∵AM⊥MN，

∴∠AMN＝90°，

∴∠CMN+∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB＝90°，

∴∠BAM＝∠CMN，

∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

設BM＝x，

∴，即

整理得：CN＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，

∴當x＝4時，CN取得最大值2，

∵

∴當DN取得最小值、CN取得最大值，即DN＝6時，AN最小，

則AN＝＝10，

故選：C．