Question

已知：如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于點
（1）試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式；
（2）根據圖象回答，在第一象限內，當取何值時，反比例函數的值大于正比例函數的值？
（3）M(m,n)是反比例函數圖像上的一動點,其中0<m<3,過M作直線MB‖x軸交y軸于點B。過點A作直線AC∥y軸交于點C，交直線MB于點D，當四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段BM與DM的大小關系，并說明理由；
（4）探索：x軸上是否存在點P,使ΔOAP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1），y=x；（2）0＜x＜3；（3）BM=DM，理由見解析；（4）存在，P（，0）或（-，0）或（6，0）或P（，0）．

解析試題分析：（1）將A（3，2）分別代入，y=ax中，得ak的值，進而可得正比例函數和反比例函數的表達式；
（2）觀察圖象，得在第一象限內，當0＜x＜3時，反比例函數的圖象在正比例函數的上方；故反比例函數的值大于正比例函數的值；
（3）有S_△OMB=S_△OAC=×|k|=3，可得S矩形OBDC為12；即OC•OB=12；進而可得mn的值，故可得BM與DM的大小；比較可得其大小關系．
（4）存在．由（3）可知D（3，4），根據矩形的性質得A（3，2），分為OA為等腰三角形的腰，OA為等腰三角形的底，分別求P點坐標．
試題解析：（1）將A（3，2）分別代入，y=ax中，得：，3a=2
∴k=6，a=
∴反比例函數的表達式為：，正比例函數的表達式為y=x；
（2）觀察圖象，得在第一象限內，當0＜x＜3時，反比例函數的值大于正比例函數的值．
（3）BM=DM.
理由：∵MN∥x軸，AC∥y軸，
∴四邊形OCDB是平行四邊形，
∵x軸⊥y軸，
∴?OCDB是矩形．
M和A都在雙曲線上，
∴BM×OB=6，OC×AC=6，
∴S_△OMB=S_△OAC=×|k|=3，又S四邊形OADM=6，
∴S_矩形OBDC=S_{四邊形OADM}+S_△OMB+S_△OAC=3+3+6=12，
即OC•OB=12
∵OC=3
∴OB=4
即n=4
∴
∴，MD=3-=.
∴MB=MD．
（4）存在．
由（2）得A（3，2），OA=
當OA為等腰三角形的腰時，P（，0）或（-，0）或（6，0），
當OA為等腰三角形的底，P（，0）．
∴滿足條件的P點坐標為P（，0）或（-，0）或（6，0）或P（，0）．
考點：反比例函數綜合題．