Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，現有一動點P從A出發以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A—B—C—D回到點A，設點P的運動時間為t秒，

(1)當t=3秒時，求BP的長；

(2)當t為何值時，連接BP，AP，△ABP的面積為長方形的面積三分之一？

(3)Q為AD邊上的點，且DQ=5，當t為何值時，以長方形的兩個頂點及點P為頂點的三角形與△DCQ全等？

Answer 1

【答案】(1)2；(2)4秒或8秒；(3)t=2.5秒，4.5秒，7.5秒或9.5秒.

【解析】

（1）當t=3秒時，點P運動到線段BC上，即可得到BP的長度；

（2）由△ABP的面積為長方形的面積三分之一，則分為點P在BC上和點P在AD上兩大類進行討論，即可得到答案；

（3）根據題意，要使得一個三角形與△DCQ全等，則點P的位置可以有四個，即點P分別運動到P1，P2，P3 ，P4時，有△DCP1，△ABP2，△ABP3，△DCP4與△DCQ全等，根據P點運動的位置，即可計算出時間.

解：（1）當t=3秒時，

點P走過的路程為：，

∵AB=4，

∴點P運動到線段BC上，

∴BP=6-4=2；

（2）∵矩形ABCD的面積=，

∴△ABP的面積=，

∵AB=4，

∴△ABP的高為：，

如圖：

當點P在BC上時，有BP=4，

∴時間為：s；

當點P在AD上時，有AP=4，

∴時間為：s；

∴當時間t=4s或t=8s時，△ABP的面積為長方形的面積三分之一；

（3）根據題意，如圖，連接CQ，有AB=CD=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，DQ=5，

∴要使得一個三角形與△DCQ全等，則另一直角邊必須等于DQ.

①當點P運動到P1時，CP1=DQ=5，此時△DCQ≌△CDP1，

∴點P的路程為：AB+BP1=4+1=5，

∴時間；

②當點P運動到P2時，BP2= DQ=5，此時△CDQ≌△ABP2，

∴點P的路程為：AB+BP2=4+5=9，

∴時間；

③當點P運動到P3時，AP3= DQ=5，此時△CDQ≌△ABP3，

∴點P的路程為：AB+BC+CD+DP3=4+6+4+1=15，

∴時間；

④當點P運動到P4時，即P與Q重合時，DP4=DQ=5，△CDQ≌△CDP4，

∴點P的路程為：AB+BC+CD+DP4=4+6+4+5=19，

∴時間；

綜合上述，時間t的值可以是：t=2.5秒，4.5秒，7.5秒或9.5秒.