Question

【題目】點D是△ABC中∠BAC的平分線和BC的垂直平分線的交點，DG⊥AB于點G，DH⊥AC交AC的延長線于點H．

（1）求證：BG＝CH；

（2）若AB＝12，AC＝6，則BG＝　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）連接BD、CD，根據線段垂直平分線的性質可得DB＝DC；依據角平分線的性質可得DG＝DH；依據HL定理可判斷出Rt△BDG≌Rt△CDH，根據全等三角形的性質即可得出結論；

（2）由Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），得出AG＝AH，進而得出答案．

（1）證明：如圖，連接BD、CD，

∵D是線段BC垂直平分線上的點，

∴BD＝DC，

∵D是∠BAC平分線上的點，DG⊥AB，DH⊥AC

∴DG＝DH，∠DGB＝∠H＝90°，

在Rt△BDG和Rt△CDH中，，

∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），

∴BG＝CH；

（2）解：∵在Rt△ADG與Rt△ADH中，

Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），

∴AG＝AH，

∴AB﹣AC＝AG+BG﹣（AH﹣CH）＝2BG＝12﹣6＝6，

∴NG＝3；

故答案為：3．