Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作直線DE垂直BC于F，且交BA的延長線于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若cos∠BAC= ，⊙O的半徑為6，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接BD、OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∵BA=BC，

∴D為AC中點，又O是AB中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

∴∠BFE=∠ODE，

∵DE⊥BC，

∴∠BFE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴直線DE是⊙O的切線

（2）

解：

∵⊙O的半徑為6，

∴AB=12，

在Rt△ABD中，cos∠BAC= = ，

∴AD=4，

由（1）知BD是△ABC的中線，

∴CD=AD=4．

【解析】（1）連接BD、OD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到BD與AC垂直，又BA=BC，利用等腰三角形的三線合一性質得到D 為AC的中點，又O為AB的中點，可得出OD為三角形ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到OD與BC平行，由EF垂直于BC，得到EF垂直于OD， 可得出EF為圓O的切線；（2）由圓的半徑為6，求出直徑AB為12，在直角三角形ABD中，由cos∠BAC的值及AB的長，求出AD的長，再由第一問 得到D為AC的中點，得到CD=AD，即可求出CD的長．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．