Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）當t為何值時，△CPQ與△ABC相似？

（3）當t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）4．8．（2）3或；（3）2．4秒或秒或秒．

【解析】

試題分析：（1）先根據勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式即可得出結論；

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再分PQ⊥CD與PQ⊥AC兩種情況進行討論；

（3）根據題意畫出圖形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三種情況進行討論．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD=．

∴線段CD的長為4．8．

（2）由題可知有兩種情形，

設DP=t，CQ=t．則CP=4．8-t．

①當PQ⊥CD時，如圖a

∵△QCP∽△△ABC

∴，即，

∴t=3；

②當PQ⊥AC，如圖b．

∵△PCQ∽△ABC

∴，即，解得t=，

∴當t為3或時，△CPQ與△△ABC相似；

（3）①若CQ=CP，如圖1，

則t=4．8-t．

解得：t=2．4．

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴．

∴，解得t=．

③若QC=QP，

過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：t=．

綜上所述：當t為2．4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．