Question

【題目】已知點A，B分別是x軸、y軸上的動點，點C，D是某個函數圖象上的點，當四邊形ABCD（A，B，C，D各點依次排列）為正方形時，我們稱這個正方形為此函數圖象的“伴侶正方形”．
例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數y=x+1圖象的其中一個“伴侶正方形”．

（1）如圖1，若某函數是一次函數y=x+1，求它的圖象的所有“伴侶正方形”的邊長；
（2）如圖2，若某函數是反比例函數 （k＞0），它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數的解析式；
（3）如圖3，若某函數是二次函數y=ax2+c（a≠0），它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，C，D中的一個點坐標為（3，4），請你直接寫出該二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：（I）當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時：

正方形ABCD的邊長為 ．

（II）當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時：

設正方形邊長為a，易得3a= ，

解得a= ，此時正方形的邊長為 ．

∴所求“伴侶正方形”的邊長為 或

（2）解：如圖，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點E、F，

易證△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵點D的坐標為（2，m），m＜2，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=2﹣m．

∴OF=BF+OB=2，

∴點C的坐標為（2﹣m，2）．

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

∴反比例函數的解析式為y=

（3）解：實際情況是拋物線開口向上的兩種情況中，另一個點都在（3，4）的左側，而開口向下時，另一點都在（3，4）的右側，與上述解析明顯不符合

a、當點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，點C坐標為（3，4）時：另外一個頂點為（4，1），對應的函數解析式是y=﹣ x2+ ；

b、當點A在x 軸正半軸上，點 B在 y軸正半軸上，點D 坐標為（3，4）時：不存在，

c、當點A 在 x 軸正半軸上，點 B在 y軸負半軸上，點C 坐標為（3，4）時：不存在

d、當點A在x 軸正半軸上，點B在y軸負半軸上，點D坐標為（3，4）時：另外一個頂點C為（﹣1，3），對應的函數的解析式是y= x2+ ；

e、當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（7，﹣3）時，對應的函數解析式是y=﹣ x2+ ；

f、當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（﹣4，7）時，對應的拋物線為y= x2+ ；

故二次函數的解析式分別為：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+

【解析】（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長.
（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標表示出點C的坐標，可求出m的值 ，即可得到反比例函數的解析式．
（3）由拋物線開口既可能向上，也可能向下．當拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點（3，4）的左邊，也可能在點（3，4）的右邊，過點（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標；當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論，即可得到所求的結論．
【考點精析】通過靈活運用反比例函數的圖象和反比例函數的性質，掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大即可以解答此題．