Question

【題目】已知：如圖，，，點是邊上一點，過點作（垂足為）交于點，且，以點為圓心，長為半徑作交于點

求證：斜邊是的切線；

設與相切的切點為，，，連、，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）．

【解析】

（1）過作于，過作于，可證明四邊形FMCE是矩形，由EF//AC可知∠A=∠GFE，即可證明，從而證明EG⊥AB，FM==EG，根據FM=CE可知EG=EC即可證明AB是的切線；（2）由∠ACB=90°可知AC是切線，所以AG=AC，由EF=AF可求出FG的長，根據勾股定理可求出EG的長，根據勾股定理求出AE的長即可.

過作于，過作于，

則，

∵，

∴，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，，

∵，

∴，

在和中

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴斜邊是的切線；

∵，

∴是的切線，

∵是的切線，，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得：，

即，

在中，，，由勾股定理得：．