Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），其中點B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；

（3）設點P是拋物線上且在x軸上方的任一點，點Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）2≤h≤4（3）（1，4）或（0，3）

【解析】

（1）拋物線的對稱軸x=1、B（3，0）、A在B的左側，根據二次函數圖象的性質可知A（-1，0）；

根據拋物線y=ax2+bx+c過點C（0，3），可知c的值.結合A、B兩點的坐標，利用待定系數法求出a、b的值，可得拋物線L的表達式；

（2）由C、B兩點的坐標，利用待定系數法可得CB的直線方程.對拋物線配方，還可進一步確定拋物線的頂點坐標；通過分析h為何值時拋物線頂點落在BC上、落在OB上，就能得到拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界）時h的取值范圍.

（3）設P（m，﹣m2+2m+3），過P作MN∥x軸，交直線x=﹣3于M，過B作BN⊥MN，

通過證明△BNP≌△PMQ求解即可.

（1）把點B（3，0），點C（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c中得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即拋物線的對稱軸是：x=1，

設原拋物線的頂點為D，

∵點B（3，0），點C（0，3）．

易得BC的解析式為：y=﹣x+3，

當x=1時，y=2，

如圖1，當拋物線的頂點D（1，2），此時點D在線段BC上，拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，

h=3﹣1=2，

當拋物線的頂點D（1，0），此時點D在x軸上，拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+0=﹣x2+2x﹣1，

h=3+1=4，

∴h的取值范圍是2≤h≤4；

（3）設P（m，﹣m2+2m+3），

如圖2，△PQB是等腰直角三角形，且PQ=PB，

過P作MN∥x軸，交直線x=﹣3于M，過B作BN⊥MN，

易得△BNP≌△PMQ，

∴BN=PM，

即﹣m2+2m+3=m+3，

解得：m1=0（圖3）或m2=1，

∴P（1，4）或（0，3）．