Question

【題目】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個角的數量關系是　 　；

（2）如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點P，則∠P與∠A，∠B的數量關系為∠P＝　 　；

（3）如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當∠A+∠B＝80°時，試求∠M+∠N的度數（提醒：解決此問題可以直接利用上述結論）；

（4）如圖4，如果∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，當∠A+∠B＝n°時，試求∠M+∠N的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）90°﹣（∠A+∠B）；（3）∠CMN+∠DNM＝230°；（4）∠CMN+∠DNM＝240°﹣n°．

【解析】

（1）由三角形的內角和均為180°及圖中∠AOB和∠COD為對頂角可知∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）設∠PCD＝x，∠ADP＝y，由CP，DP均為角平分線可得∠BCD＝2x，∠ADE＝2y；再由三角形外角和定理可得∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，則可求得∠COD＝2∠P；由三角形內角和定理以及∠COD和∠AOB是對頂角可得，∠COD+∠A+∠B＝180°，再用∠COD＝2∠P進行替換可得∠P＝90°﹣（∠A+∠B）；

（3）延長CM、DN交于點P，由上一問結論可知∠P＝90°﹣（∠A+∠B），結合題干所給條件易求得∠P＝50°，由三角形內角和定理可得∠PMN+∠PNM＝130°，則∠M+∠N＝360°-(∠PMN+∠PNM)=360°﹣130°＝230°；

（4）延長CM、DN交于點P，設∠PCD＝x，∠ADP＝2y，由∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE易得∠NDE＝y，∠BCD=3x，再由三角形外角和定理以及內角和定理易得∠P＝y﹣x，∠COD＝3y﹣3x，則∠COD＝3∠P；由三角形內角和定理可得3∠P+∠A+∠B＝180°，題干已知∠A+∠B＝n°，則可知∠P＝，同上問∠CMN+∠DNM＝360°﹣(∠PMN+∠PNM)=360°-（120°+）＝240°﹣．

解：（1）如圖1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，

在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）設∠PCD＝x，∠ADP＝y，

∵CP，DP分別平分∠BCD，∠ADE，

∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y，

∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，

∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，

∴∠COD＝2∠P，

∵∠COD+∠A+∠B＝180°，

∴2∠P+∠A+∠B＝180°，

∴∠P＝90°﹣（∠A+∠B）；

故答案為：90°﹣（∠A+∠B）；

（3）延長CM、DN交于點P，

由（2）知：∠P＝90°﹣（∠A+∠B），

∵∠A+∠B＝80°，

∴∠P＝50°，

∴∠PMN+∠PNM＝130°，

∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣130°＝230°；

（4）延長CM、DN交于點P，

設∠PCD＝x，∠ADP＝2y，

∵∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，

∴∠NDE＝y，∠BCD=3x，

∴∠P＝y﹣x，∠COD＝3y﹣3x，

∴∠COD＝3∠P，

∴3∠P+∠A+∠B＝180°，

∵∠A+∠B＝n°，

∴∠P＝，

∴∠PMN+∠PNM＝180°﹣＝120°+，

∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（120°+）＝240°﹣．