Question

（2010•西藏）如圖，已知等腰△ABC，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求sin∠A的值．

Answer 1

分析：（1）連接CD，OD，得出CD⊥AB，推出AD=BD，得出OC∥AC，推出EF⊥OD，根據切線的判定推出即可；
（2）求出AD，根據勾股定理求出CD，解直角三角形ACD即可．

解答：（1）證明：連接CD，OD，
∵BC是⊙O直徑，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴BD=AD，
∵BO=CO，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∵OD為半徑，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=12，AD=BD=6，AC=10，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=

102-62

=8，
即sinA=

CD

AC

=

8

10

=

4

5

．

點評：本題考查了等腰三角形性質，三角形的中位線，平行線的性質和判定，解直角三角形，勾股定理，切線的判定等知識點的應用，主要考查了學生的推理和計算能力．