Question

已知拋物線與x軸相交于點A，B（A點在B點左邊），點C為拋物線上一個動點，直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別相交于D，E兩點，在x軸上的點P，使得△DEP為等腰直角三角形，則點P的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：若△DEP為等腰直角三角形，應分情況進行討論，需注意應符合兩個條件：等腰，有直角．
解答：解：令=0，解得：x=-1或x=3，
∵A點在B點左邊，
∴A點的坐標為（-1，0），B點的坐標為（3，0），
設直線y=m與y軸的交點為F（0，m）．
①當DE為腰時，分別過點D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖，
則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴=，即=．
解得m=．
∴點D的縱坐標是，
∵點D在直線AC上，
∴2x+2=．，解得x=-，
∴D（-，）．
∴P₁（-，0），同理可求P₂（1，0）．

②當DE為底邊時，
過DE的中點G作GP₃⊥x軸于點P₃，如圖，
則DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得=，即=，
解得m=1．
同1方法．求得D（-，1），E（，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=，
∴P₃（，0）
結合圖形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（，0）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點P共有3個，即P₁（-，0），P₂（1，0），P₃（，0）．
故答案為：P₁（-，0），P₂（1，0），P₃（，0）．
點評：本題考查的知識點較為全面：解一元二次方程，相似的應用以及勾股定理，等腰三角形的性質等，需耐心分析，加以應用．