Question

如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為以AC為腰的等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（1，0）（3）P₁（，－）P₂（-，）P₃(1, -2)  P₄(,-).

【解析】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）C(0,－1)

∴ 解得： b=－  c=－1   (2分)

∴二次函數(shù)的解析式為 (1分)

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0）， （0＜m＜2）

∴ OD=m   ∴AD=2-m   由△ADE∽△AOC得， 

∴  ∴DE=        (1分)

∴△CDE的面積=××m==  (2分)

當(dāng)m=1時(shí)，△CDE的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）       (1分)

（3）存在.

  由(1)知：二次函數(shù)的解析式為

設(shè)y=0則 解得：x₁=2  x₂=－1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，0）  C（0，－1）

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx＋b

∴   解得：k=-1  b=-1，∴直線BC的解析式為: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=90⁰  OA=2  OC=1，由勾股定理得：AC=

∵點(diǎn)B(－1,0)  點(diǎn)C（0，－1），∴OB=OC  ∠BCO=45⁰.    (1分)

①當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且PC=AC=時(shí)，

設(shè)P(k, －k－1),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，

∴∠HCP=∠BCO=45⁰，CH=PH=∣k∣，在Rt△PCH中

k²+k²=  解得k₁=， k₂=－

∴P₁（，－） P₂（－，）(3分)

②以A為頂點(diǎn)，即AC=AP=

設(shè)P(k, －k－1),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，

AG=∣2－k∣  GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中  AG²＋PG²=AP²，（2－k)²+(－k－1)²=5  解得：k₁=1,k₂=0(舍)  ∴P₃(1, －2)    (3分)

（3）AP=CP，此時(shí)AP²=CP²

2X²-2X+5=2X²

-2X=-5，X=2.5

代入BC方程，Y=-3.5

因此P₄（2.5，-3.5）

綜上所述，存在四點(diǎn)：P₁（，－）P₂（-，）P₃(1, -2)  P₄(,-).

（1）用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0）， （0＜m＜2），由△ADE∽△AOC得，

從而求得DE的長(zhǎng)，通過(guò)△CDE的面積公式求得當(dāng)m=1時(shí)，△CDE的面積最大，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)

（3）求出直線BC的解析式，若三角形為等腰三角形，則有三種可能，利用勾股定理從而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)