Question

如圖，一次函數y=x+m圖象過點A（1，0），交y軸于點B，C為y軸負半軸上一點，且BC=2OB，過A、C兩點的拋物線交直線AB于點D，且CD∥x軸．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）觀察圖象，寫出使一次函數值小于二次函數值時x的取值范圍；
（3）在這條拋物線上是否存在一點M使得∠ADM為直角？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把點A（1，0）代入y=x+m得m=-1，（1分）
∴y=x-1，
∴點B坐標為（0，-1），（2分）
∵BC=2OB，OB=1，
∴BC=2，
∴OC=3，（3分）
∴C點坐標為（0，-3），（4分）
又CD∥x軸，
∴C、D關于對稱軸對稱，
∴點D的縱坐標為-3，（5分）
代入y=x-1得x=-2，
∴點D的坐標為（-2，-3），（6分）
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意得：，（7分）
解得a=1，b=2，c=-3，
∴y=x²+2x-3（8分）

（2）x＜-2或x＞1（10分）

（3）∵BC=CD=2，且CD∥x軸，
∴△BCD為等腰Rt△，∠BCD=90°，（11分）
又拋物線頂點為E（-1，-4）且E到CD的距離EG=1，（12分）
∴DG=GC=1，
∴EG=DG，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDA=90°，（13分）
∴存在點M（-1，-4），（即拋物線頂點E）使得∠ADM=90°．（14分）
分析：（1）由一次函數y=x+m圖象過點A（1，0），由待定系數法即可求得m的值，即可求得點B與C的坐標，然后設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數法求得此二次函數的解析式；
（2）觀察圖象，根據圖象即可求得使一次函數值小于二次函數值時x的取值范圍；
（3）由BC=CD=2，且CD∥x軸，可得△BCD為等腰Rt△，∠BCD=90°，又拋物線頂點為E（-1，-4）且E到CD的距離為1，即可求得∠EDA=90°，所以可得存在點M（-1，-4）（即拋物線頂點E）使得∠ADM=90°．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，函數的增減性，以及等腰直角三角形性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．