Question

【題目】如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線(xiàn)PB交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，.（1）求證：直線(xiàn)PB是⊙O的切線(xiàn)；

（2）求cos∠BCA的的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）cos∠BCA =

【解析】分析：（1）連接OB、OP，如圖，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可推出△BDC∽△PDO，進(jìn)一步分析可得BC∥OP，由此通過(guò)角之間的等量轉(zhuǎn)化便不難得到△BOP≌△AOP，至此結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，問(wèn)題（1）便可得以解決；

（2）設(shè)PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到PA=PB=a，由此借助勾股定理以及線(xiàn)段間的比例關(guān)系即可用含a的代數(shù)式表示出OP以及OA的長(zhǎng).

詳解：（1）證明：連接OB、OP .

∵ 且∠D=∠D,

∴ △BDC∽△PDO ,

∴ ∠DBC=∠DPO ,

∴ BC∥OP,

∴ ∠BCO=∠POA , ∠CBO=∠BOP.

∵ OB=OC ,

∴ ∠OCB=∠CBO ,

∴ ∠BOP=∠POA.

又∵ OB=OA， OP=OP ,

∴ △BOP≌△AOP ,

∴ ∠PBO=∠PAO.

又∵ PA⊥AC ,

∴ ∠PBO=90° ,

∴ 直線(xiàn)PB是⊙O的切線(xiàn).

（2）由（1）知∠BCO=∠POA ,

設(shè)PB，則.

又∵ ,

∴ .

又∵ BC∥OP ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴ cos∠BCA=cos∠POA= .