Question

【題目】平面上，Rt△ABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圓O交BC邊于點D，將半圓O繞點C按逆時針方向旋轉，點D隨半圓O旋轉且∠ECD始終等于∠ACB，旋轉角記為α（0°≤α≤180°）

（1）當α=0°時，連接DE，則∠CDE=　 　°，CD=　 　；

（2）試判斷：旋轉過程中的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）若m=10，n=8，當α=∠ACB時，求線段BD的長；

（4）若m=6，n=4，當半圓O旋轉至與△ABC的邊相切時，直接寫出線段BD的長．

Answer 1

【答案】（1）90°，；（2）無變化；（3）；（4）BD=或．

【解析】試題分析：（1）①根據直徑的性質，由DE∥AB得即可解決問題．②求出BD、AE即可解決問題．

（2）只要證明△ACE∽△BCD即可．

（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解決問題．

（4）分類討論：①如圖5中，當α=90°時，半圓與AC相切，②如圖6中，當α=90°+∠ACB時，半圓與BC相切，分別求出BD即可．

試題解析：（1）解：①如圖1中，當α=0時，連接DE，則∠CDE=90°．∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴=．∵BC=n，∴CD=．故答案為：90°，n．

②如圖2中，當α=180°時，BD=BC+CD=n，AE=AC+CE=m，∴=．故答案為：．

（2）如圖3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵，∴△ACE∽△BCD，∴．

（3）如圖4中，當α=∠ACB時．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB==6．在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE===3，由（2）可知△ACE∽△BCD，∴，∴=，∴BD=．故答案為：．

（4）∵m=6，n=，∴CE=3，CD=2，AB==2，①如圖5中，當α=90°時，半圓與AC相切．在Rt△DBC中，BD===2．

②如圖6中，當α=90°+∠ACB時，半圓與BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四邊形BCEM是矩形，∴，∴AM=5，AE==，由（2）可知=，∴BD=．

故答案為：2或．